示例 2
使用上述两种方法计算二重积分 \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
示例 2 的解答
1) 我们首先计算 \( x \) 方向的积分，然后计算 \( y \) 方向的积分。
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
首先计算内积分 \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) ，假设 \( y \) 为常数，这类似于计算偏导数。
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
计算得：
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
简化得：
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
将 \( I \) 代入 \( V \) 并计算外积分：
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
计算得：
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)
2) 我们首先计算 \( y \) 方向的积分，然后计算 \( x \) 方向的积分。
\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
计算内积分 \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) ，假设 \( x \) 为常数：
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
简化得：
\( I = 2x^2 \)
将 \( I \) 代入 \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
计算得：
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
注意
1) 两种分割积分的方法得到了相同的答案。
2) 尽管我们在计算二重积分，但实际上我们处理的是单重积分，当然所有积分的公式和性质都可以使用。